Vektor pada Variabel Linier

PENGERTIAN,DEFINISI ,NOTASI & OPERASI VEKTOR

PENGERTIAN

Vektor merupakan istilah untuk menyatakan besaran yang mempunyai arah. Secara geometris, vektor dinyakan dengan segmen-segmen garis yang terarah atau panahdi dalam bidang atau di ruang.

Skalar adalah besaran (kuantitas) yang hanya mempunyai besar (nilai saja).

Contoh :

P

perpindahan, kecepatan, gaya dan percepatan adalah beberapa contoh dari vektor, sedang massa, panjang, waktu, suhu dan bilangan adalah beberapa contoh dari scalar.

A

O

Secara grafik, vektor digambarkan sebagai sebuah anak panah  OP yang menyatakan arahnya, sedang besarnya dinyatakan oleh panjang anak panah.  Pangkal O dari anak panah disebut titik asal atau titik pangkal, sedang ujung P disebut titik terminal atau terminus.

Secara analitis, vektor dilambangkan oleh sebuah huruf dengan anak panah diatasnya, seperti , atau dengan huruf tebal seperti A dan besarnya dinyatakan dengan atau .  Untuk memudahkan pengetikan, selanjutnya setiap vektor akan ditulis dengan huruf tebal.

Skalar dinyatakan dengan huruf-huruf biasa seperti dalam aljabar dan operasi-operasi dengan skalar juga mengikuti aturan operasi aljabar biasa.

DEFINISI PADA VEKTOR

1.    Vektor A dan B dikatakan sama jika keduanya memiliki arah dan besar yang sama, tanpa memandang kedudukan titik-titik awalnya.

2.    Sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor A, tetapi arahnya berlawanan dinyatakan dengan -A.

 

A                     -A

B

Vektor A dan B sama                                              vektor A dan –A

3.    Jumlah atau resultan dari vektor A dan vektor B adalah sebuah vektor C yang dibentuk dengan menempatkan titik awal dari B pada titik terminal dari A dan kemudian menghubungkan titik awal dari A dengan titik terminal dari B.  Jumlah ini ditulis dengan A+B.  Jadi C = A+B.

4.   

A-B

-B

A

A

B

Selisih dari vektor A  dan vektor B  didefinisikan sebagai jumlah vektor A dan –B dan ditulis sebagai A-B = A+(-B)_. 

Jika A=B, maka A-B didefinisikan sebagai vektor nol dan ditulis dengan 0, yang merupakan suatu vektor yang besarnya nol dan tak memiliki arah tertentu.

5.   

3A

A

Hasil kali sebuah vektor A  dengan sebuah skalar m adalah sebuah vektor mA yang besarnya ½m½ kali besarnya vektor A dan arahnya sama atau berlawanan dengan arah vektor A, bergantung pada apakah m positif (searah) atau negatif (berlawanan arah).  Jika m=0 maka mA=0.

NOTASI

Jika A, B, C vektor-vektor dan m dan n skalar-skalar, maka

1.    A+B = B+A

2.    A+(B+C) = (A+B)+C

3.    mA = Am

4.    m(nA) = (mn)A

5.    (m+n)A  = mA + nA

6.    m(A+B) = mA + mB

Dalam bidang koordinat, kita dapat menyatakan titik v = (a, b) dengan vektor

 v =ai + bj. Dalam hal ini a dan b adalah

bilangan real adalah komponen- komponen dari vektor tersebut (elemen/entri dari

matriks). Himpunan semua vector dengan dua komponen ini dinamakan R2

(dibaca: ‘R-dua’).

OPERASI PADA VEKTOR

Operasi vektor meliputi:

1. Penjumlahan

2. Perkalian :

- Perkalian vektor dengan skalar

- Perkalian vektor dengan vektor lain: perkalian titik dan

perkalian silang.

SUSUNAN  KORDINAT RUANG RN

O

z

y

x

A­3k

A2j

A1i

A

Setiap vektor dalam ruang berdimensi tiga dapat digambarkan dengan titik pangkal yang berimpit dengan titik O dari sistem koordinat tegak lurus.  Misalkan (A₁, A₂, A₃) koordinat titik pangkal dari vektor A yang titik pangkalnya berimpit dengan O.  Vektor-vektor A₁i, A₂j, dan A₃k disebut vektor-vektor komponen dari A dalam arah berturut-turut x, y dan z.  Sementara itu A₁, A₂, A₃ disebut komponen dari A dalam arah berturut-turut x, y dan z.

Vektor A merupakan jumlah atau resultan dari A₁i, A₂j, dan A₃k, sehingga dapat ditulis A = A₁i + A₂j + A₃k.  Besar dari A adalah

A = ½A½= .

Vektor posisi dari O ke titik (x,y,z) ditulis r = xi+yj+zk, dan besarnya adalah

r = ½r½= .

VEKTOR DI DALAM RN

 

MEDAN SKALAR

Jika pada tiap titik (x,y,z) dari suatu daerah R dalam ruang  dikaitkan sebuah bilangan atau skalar f(x,y,z), maka f disebut fungsi skalar dari kedudukan atau fungsi titik skalar dan dapat dikatakan bahwa sebuah medan skalar f telah didefinisikan dalam R.

Contoh: (1) temperatur pada setiap titik di dalam atau di atas permukaan bumi pada suatu tempat tertentu mendefinisikan sebuah medan skalr.

(2) f(x,y,z) = x³y-z² mendefinisikan sebuah medan skalar.

MEDAN VEKTOR

Jika pada tiap titik (x,y,z) dari suatu daerah R dalam ruang  dikaitkan sebuah vektor V(x,y,z), maka V disebut fungsi vektor dari kedudukan atau fungsi titik vektor dan dapat dikatakan bahwa sebuah medan vektor V telah didefinisikan dalam R.

Contoh: (1)  Jika kecepatan pada setiap titik (x,y,z) dalam sebuah fluida yang sedang bergerak diketahui pada suatu saat tertentu, maka sebuah medan vektor terdefinisikan.

(2)    V(x,y,z) = xy²i –2 yz³j + x²zk mendefinisikan sebuah medan vektor.

 

1.   

z

Tentukan vektor yang memiliki titik pangkal P(x₁,y₁,z₁) dan titik terminal Q(x₂,y₂,z₂) dan carilah besarnya.

Penyelesaian:

vektor kedudukan P adalah                                                                P(x₁,x₂,x₃)

r1

r₁ = x₁i + y₁j + z₁k,

vektor kedudukan P adalah

2

r₂ = x₂i + y₂j + z₂k.                                                                                          Q(x₂,y₂,z₂)

O

Perhatikan gambar:

y

r₁ + PQ = r₂ 

atau

x

PQ = r₂-r₁

            = (x₂i + y₂j + z₂k) – (x₁i + y₁j + z₁k)

       = (x₂-x­₁­)i + (y₂-y₁)j + (z₂-z₁)k,

sehingga  besarnya PQ:

,

yang menyatakan jarak antara titik P dan titik Q.

PERSAMAAN GARIS LURUS DAN BIDANG DATA

VEKTOR SATUAN

Vektor satuan adalah suatu vektor yang besarnya satu.  Jika A suatu vektor tak nol maka A /½A½ atau A/A adalah suatu vektor satuan yang searah dengan vektor A.  Setiap vektor A dapat dinyatakan oleh sebuah vektor satuan a dalam arah A dikalikan dengan besarnya A.  Jadi A = Aa.

0

i

Dalam sistem koordinat tegak lurus ruang dimensi tiga, vektor-vektor satuan yang searah dengan sumbu-sumbu x, y dan z positif berturut-turut dinyatakan dengan i, j, dan k.